선형(Linearity)과 비선형(Non-linearity)의 차이점

선형함수와 비선형함수는 정확히 어떤 차이점을 가질까?

 

위와 같은 질문을 시작으로 선형과 비선형의 본질적인 의미까지 파악해보고자 한다.

 

우선 먼저 선형이란 무엇일까?

 

[ 선형 ]

선형성(線型性, linearity) 또는 선형(線型, linear, 라틴어: linearis)은 직선처럼 똑바른 도형, 또는 그와 비슷한 성질을 갖는 대상이라는 뜻으로, 이러한 성질을 갖고 있는 변환 등에 대하여 쓰는 용어이다.

함수의 경우, 어떠한 함수가 진행하는 모양이 '직선'이라는 의미로 사용된다. 

출처 : 위키백과

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95%EC%84%B1

선형성 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

직선처럼 똑바른 도형 또는 그와 비슷한 성질

 

과연 이 성질은 도대체 무엇일까?

 

좀 처럼 찾아봐도 위와 같은 '성질'에 대한 명확한 답변은 얻을 수 없었지만 조사해본 결과 

 

모두 '중첩의 원리(principle of superposition)' 라는 개념을 토대로 선형함수를 설명해주고 있었다.

 

우선 나무위키 개념에서 좀 내려가면 선형 사상이라는 것이 존재한다.

가산성과 동차성이 성립할 때의 함수를 선형이라고 한다.

(중첩의 원리도 비슷한 전제를 만족할 때를 말한다)

 

예시를 들어보자.

 

직선의 대표적인 함수인 Y = X 가 존재하며, 동차성을 같이 보고싶으니 Y = 2X 로 예시를 들겠다.

직선이 아닌 대표적인 함수는 Y = X^2(X의 제곱)이 존재하며, 위와 같은 이유로 Y = 2X^2 으로 예시를 들겠다.

 

1. 가산성

→ (직선 O) X = 2 + 3 → Y = 2*(2 + 3) → Y = 2*2 + 2*3 → Y = 10 

 

→ (직선 X) X = 2 + 3 → Y = 2*(2 + 3)^2 → Y = 2*25 = 50 

→ (직선 X) X = 2 + 3 → Y = 2*(2)^2 + 2*(3)^2 → Y = 8 + 18 = 26

→ 결과 : 50 과 26은 결과치가 다름 → 가산성 만족 X

 

2. 동차성

→ (직선 O) X = 3X → Y = 2*(3X) → Y = 6X

→ (직선 O) X = 3X → Y = 3*(2X) = 6X

 

→ (직선 X) X = 3X → Y = 2*(3X)^2 → Y = 2*9X^2 = 18X^2 

→ (직선 X) X = 3X → Y = 3*(2X^2) → Y = 6X^2

→ 결과 : 18X^2 과 6X^2은 결과치가 다름 → 동차성 만족 X

 

※ 결과적으로 직선은 가산성과 동차성을 만족하지만, 직선이 아닌 함수는 모두 만족하지 못했다.